居高声自远

                                                             ------读《初等数学研究》的思考  游发本

在中学数学教师的专业成长谱系中，总有一些著作扮演着“压舱石”的角色。它们或许不直接提供课堂技巧，却能为我们的教学实践奠定最深厚的学理基础；它们或许不急于应对当下的考试变革，却能赋予我们一种穿透时空的洞察力。丁石孙、章建跃等先生主编的《初等数学研究》系列著作，正是这样一座巍然屹立的灯塔。作为一名执教多年的教师，重温这套经典，已不再是简单的知识回顾，而是一场深刻的思维洗礼与一次庄严的专业身份重塑。它让我真切地体会到，何谓“居高声自远”——唯有站在学科思想的高处，我们的教学才能摆脱匠气，触及灵魂。

一、 溯源与澄清：从“工具性理解”到“关系性理解”的跨越

英国数学教育家斯根普曾区分了“工具性理解”与“关系性理解”。在长期的教学中，我无奈地发现，迫于课时与应试的压力，自己的教学有时会不自觉地滑向“工具性理解”：强调公式的记忆、法则的套用、题型的归类，却或多或少地忽略了概念之间的内在联系与逻辑必然性。而《初等数学研究》的核心价值，就在于它系统性地引导教师完成从“工具性理解”向“关系性理解”的跨越。

这部著作仿佛一位博学的向导，带领我们重返数学概念的历史源头与逻辑起点。例如，在“数系”部分，它并非简单罗列自然数、整数、有理数、实数的定义，而是清晰地展现了数系扩张的内在动力：为了解决减法、除法、开方等运算的封闭性问题。每一次扩张，都是一次思想观念的飞跃。当我自己透彻理解了从自然数到实数的这一“为什么”之后，再面对学生对于“为什么负数乘以负数是正数”、“为什么无理数也存在”等本源性问题时，我便能不再停留于“规定如此”的苍白解释，而是可以从数学内部的一致性、和谐性需求出发，讲述一个逻辑自洽、充满智慧的故事。这种教学，传递的不仅是知识，更是数学的理性精神。

同样，在“函数”章节，著作超越了“变量说”和“对应说”的表层描述，深入探讨了函数的本质、分类、表示方法之间的深层联系。它让我意识到，高中阶段学习的各种基本初等函数，并非彼此孤立的“工具”，而是一个有机整体，是刻画现实世界不同现象规律的数学模型。这种高观点的统领，使得我在进行函数主题教学时，能够设计出更具整体性的单元教学设计，帮助学生构建网络化的知识结构，而非积累碎片化的知识点。这种对概念本源的澄清，是教师专业自信的基石。

二、 贯通与俯瞰：连接初等数学与高等数学的“秘密通道”

对于许多中学教师而言，大学所学习的高等数学知识与中学教学内容之间，似乎存在着一道无形的鸿沟。我们常常感到，高等数学的“武器”在中学课堂“英雄无用武之地”。《初等数学研究》的伟大之处，在于它亲手为我们架设了一座桥梁，打通了初等数学与高等数学的隔阂，让我们能够用高等数学的观点来俯瞰、统领和深化初等数学的理解。

一个典型的例子是“变换”的观点。在初等几何中，我们讲授全等、相似，往往侧重于具体的判定定理和性质定理。而《初等数学研究》从群论的高度，揭示了平移、旋转、反射等几何变换的本质，它们构成了运动群，保持图形的某种性质不变。这种观点一旦建立，再看中学的平面几何，许多看似孤立的定理顿时变得脉络清晰。例如，正方形的对称性，就可以用二面体群来完美描述。虽然我不会直接将“群”的概念教给学生，但这种高观点的洞察，能让我在教学中更强调图形变换的思想，引导学生从“动态”的、更高的角度欣赏几何的对称与和谐之美。

在代数领域，著作从近世代数的视角审视数系、多项式等内容，让我对“运算律”的理解不再停留在机械记忆层面，而是认识到它们作为代数结构“公理”的根本地位。这种贯通性的理解，使我能够更加游刃有余地处理教材中那些“显然成立”但学生总感困惑的问题，比如为什么“等式两边可以同时加上同一个数”。因为我可以从“保持运算的映射”这一更高角度理解等式的性质。这座“秘密通道”的打通，极大地丰富了我的教学资源库和解释力，让我在面对优秀学生的深度追问时，能够做到心中有数、言之有物。

三、 严谨与反思：对教材“约定俗成”的理性审视

长期使用一套教材，很容易让我们对其中的定义、表述、甚至一些处理方式习以为常，认为它们是“天经地义”的。《初等数学研究》以其数学家的严谨，对许多中学教材中“约定俗成”或“语焉不详”之处进行了深刻的反思和批判，这种反思精神对教师而言是极其宝贵的财富。

例如，对于“什么是点”、“什么是直线”这样的基本概念，中学阶段通常采用直观描述法。但著作会引导我们思考欧几里得几何的公理化体系，以及希尔伯特形式化公理体系的深刻区别。这促使我反思，在教学中如何平衡直观与严谨，如何在学生的认知水平允许的范围内，潜移默化地渗透公理化思想。

再如，对于“算术平方根”与“平方根”的区分，很多学生容易混淆。著作从函数“单值性”的要求出发，清晰地解释了这种区分的必要性源于数学的严谨性要求。理解了这一点，我就不会简单地责怪学生粗心，而是会从数学本身的内在规定性上讲清道理，培养学生的严谨思维习惯。

这种严谨的审视，培养了我的批判性教材观。我不再是教材的被动执行者，而是成为了一个积极的审视者、研究者和建设性的使用者。我会思考某个定义的引入方式是否最利于学生理解，某个定理的证明过程是否体现了关键的数学思想，某个例题的选择是否具有典型性和启发性。这种基于深刻理解的反思能力，是教师走向成熟和专业自主的关键标志。

四、 实践与转化：将理论智慧融入课堂教学的“最后一公里”

当然，阅读《初等数学研究》的最终目的，是为了更好地服务于教学。如何将高深的理论智慧转化为课堂教学中学生可感、可知、可思的学习活动，是“最后一公里”的挑战。这套著作本身也提供了许多可资借鉴的思路。

首先，它为我提供了设计“微探究”课题的丰富素材。例如，在学习了三角形内角和定理后，我可以引导学生探究四边形、五边形……n边形的内角和公式，这其中蕴含了归纳、类比、化归等重要的数学思想，这正是《初等数学研究》所强调的“数学方法论”的体现。

其次，它提升了我的课堂语言品质。基于对概念本质的深刻理解，我的课堂讲解可以更加精准、深刻而富有启发性。我可以避免使用“这是规定”这类简单粗暴的表述，而是尝试用更富逻辑和历史背景的语言来解释数学的“所以然”。

最后，它是我应对“资优生”培养挑战的智慧宝库。当学有余力的学生提出超越课本的问题时，我不再畏惧或回避。因为《初等数学研究》赋予了我更广阔的知识视野和更深厚的理论功底，使我能够与他们进行深入的对话，引导他们走向更广阔的数学天地。

读《初等数学研究》，于我而言，已不是一次简单的阅读任务，而是一场持续的专业修行。它时刻提醒我，作为一名数学教师，我们传授的不仅仅是计算技能和解题套路，更是一种博大精深的文化，一种严谨求实的科学精神，一种充满智慧的思维方式。这部著作，就像一位永不疲倦的导师，督促我不断回溯知识的源头，攀登思想的高峰，从而能够以更清澈的目光审视我的教学，以更从容的步伐行走于我的讲台。

“问渠那得清如许，为有源头活水来。”《初等数学研究》正是为我专业生命注入的“源头活水”。它让我坚信，一个能站在学科思想制高点的教师，其教学必然能超越技术的层面，抵达教育的本质——启迪智慧，塑造灵魂。这条路，我将继续怀着敬畏与热情，坚定地走下去。