读《现代世界中的数学》有感

                                                                                                                                                         莆田第一中学   曾献峰

莫里斯.克莱因的《现代世界中的数学》是一本优秀的数学科普读物，共分五个主题：数学的本性、传记、几个数学分支、数学基础和数学意义。本书神奇的是，这些不同的主题是由不同的作者写成的，像是一个万花筒,色彩缤纷，给人以启发、激情和灵感，诚如作者所说的：“本书收录的这些论文目的不是给出平淡无奇的信息或学一门课程时必需掌握的技术细节以便去学下一门课，而是给出内在的洞察。这些文章不止给出了砖石和逻辑的灰浆,而是给出宏大的庙宇;它们用广阔的视野去补足细节;注入了崇高主题,给人以激情。”此外书中介绍了很多我们耳熟能详的数学家的传记，有笛卡尔、牛顿、拉普拉斯、麦克斯韦等，从中可窥见他们成长历程以及他们特立独行的个人风格。

其中有篇文章给我印象特别深刻，那就是哈尔莫斯的《数学的创新》。我们都知道创新是非常重要，那么数学创新究竟是什么，它们是怎样得出来的，数学家又是如何进行创新和创造的呢？这些对我们来说都显得格外神秘。

哈尔莫斯按照对数学的贡献将创新进行了大致的分类：它可以是一个老事实的新证明，可以是一个新事实，也可能是同时处理一些事实的新方法。

老事实的新证明里有美的享受，有原来创造者未找到的最漂亮简捷的途径和他未领悟到的与其他数学领域之间的关联。这种创新有利于一个领域的工作者对此有足够的理解，使他们比先前的人有更深的洞察力。有些在当时很困难的问题，在新工具出现后，只需寥寥数行即可解决。这一点在现行的高中数学新教材的编写中也有所体现。比如说必修2第六章安排了一节向量法探究三角形的性质的探究课，其目的在于启发学生用新工具、新方法(向量法)对已研究过的对象（三角形）进行再研究，这样不仅可以站在新的高度重新审视研究对象，加深对研究对象的认识，而且可以有所发现，得到一些深刻的结论。向量法证明余弦定理和正弦定理就是一个有力的证据。

有时找到的是比老证明更复杂的新证明方法并不见得是坏事，如果新证明能够建立起两个概念之间前所未有的联系。“解析几何”就是一个很好的例子，它揭示了两个数学分支——代数与几何之间的联系。早期的几何家关心的是圆锥截线，即用一个平面去截圆锥，完全用的是几何的方法去研究圆锥曲线，阿波罗尼奥斯是其中的佼佼者。当笛卡尔用坐标去研究这些曲线并写出它们的方程后，发现它们都是关于x,y的二次方程，这个新的事实，使得我们对圆锥曲线的本质有了一个更深的理解，同时也提出了新的问题：含有x,y更高次幂的曲线具有什么几何性质？这样我们被引导到一个整整一类新的几何图形上，仅有几何直观是做不到这一步的。我们高中阶段对圆锥曲线处理就直接是按照笛卡尔的坐标法进行研究，而将几何法置于章引言和文献阅读与写作之中，显然是因为坐标法的研究显得更为直接和更为深刻。

数学创新来自难能宝贵的好奇心，最难的是找到问题，适当的提出问题是斗争的一大半，这是需要灵感的，虽然解答问题本身需要技巧需要机智，但时常是创造和洞察力集中在问题上，书中举了一个例子欧拉定理：每一个正整数都可以写成不超过4个平方数的和。平方数：1,4,9,16，25，…,它们之间的距离越来越大；如果我们把两个平方数加起来，我们将得到一个间隙更小的序列,2,5,8,10,13，…;如果我们再把三个数的平方和填进去，间隙会更小。欧拉定理说如果把4个数的平方和填进去，那就不会有间隙了。这就是数学家的眼光和看问题的角度。我们在日常教学中要能创设出符合教学目标的情境，引起学生求知的欲望设置好的问题，欲擒故纵，直至引起学生的共鸣。好的问题能给人极度的舒服，这需要我们自身对所要讲解的定理公式有多角度的解读，进行深度的思考。

数学创新还来自于实际应用，正如数学对工程，物理，化学，遗传学，经济学所作出的贡献一样，其他学科的发展也能保持数学创新的盎然生机：提出新的问题，指明新的发展路线。对策论发表10年后在经济学和运筹学中找到了应用。

此外，数学史上的那些失败和错误也是创新的一个来源。人们常说，在安德鲁怀尔斯之前，所有证明费马大定理的人都失败了，但是他们所作的努力中产生了现代数学和数论中最富有成果的概念。那一本本充满光辉的数学著作都是受错误鼓舞而产生的，一代代数学家前赴后继，激励着下一代去寻找真理。我们的课堂应该是一个允许犯错的课堂，而不只是一帆风顺的，我们要鼓励学生多做尝试，不惧怕犯错，错误是难免的，也是一时的，但同时也是一种宝贵的经验积累，为我们更接近真理指明了方向。我们老师也要敢于示错，让学生来当小老师，作一个领路人，帮助拨云见日。

数学的发展史同时也是一部创新史。一个重要的例子是方程的可解性理论。这个理论是由法国的年轻数学家伽罗瓦创造的。伽罗瓦的先行者们对不高于4次的方程都找到了公式，很自然地希望能找到更高次幂的求根公式。伽罗瓦敢于怀疑这样的公式并不存在，他不去寻找那深藏不露的公式，而是寻找方程式与解的更一般的性质，从而创立了群论，在代数学上引起深刻的反响，开辟了一条新的途径。群论现已被证明是处理问题范围极广的有力数学工具。这也给我们一个启发，在讲授有关数学概念或定理时适当的引进数学史，不仅能增加课堂趣味，更能让学生看到先贤们孜孜以求，精益求精的探索精神，鼓励学生在科学研究的道路上作出新的贡献。

总之，这本书很是值得推荐，没有过多的数学知识积累也不妨碍你阅读，从中你可以大致窥探数学的全貌以及数学的力量。