对无功功率及相关概念常见的认识误区

欧剑雄

（福建省莆田第一中学 福建 莆田 351100）

有功功率、无功功率、视在功率和功率因数是电工学中非常重要的基本概念。由于电磁学、电路原理等基础教材^[1-3]中一般只在正弦电路中论述这些概念，因此很多学生、甚至教师往往会将上述概念简单地拓展到非正弦电路中，造成认识上的误区。

最常见的错误认识有：一、只有当电路中有电感或电容时，电路中才会有无功功率；二、功率因数中的就是电路中电压与电流的相位差。本文将分正弦和非正弦两种情况介绍无功功率及相关概念的定义，并结合实例分析，探讨对无功功率及相关概念的深度理解，以纠正上述错误认识。

一、 正弦电路中无功功率及相关概念的定义

在正弦交流电路中，电压、电流的瞬时值、的表达式为

，

式中、分别为电压、电流的有效值，为电压和电流之间的相位差。

则电路的瞬时功率的表达式为

从上式可以看出，瞬时功率由两部分构成。前一部分为电路中电阻的瞬时功率；后一部分为电路中电抗的瞬时功率。一个周期内，电阻消耗的平均功率，电抗消耗的平均功率。

一个周期内电路瞬时功率的平均值称为有功功率，它反映了电路实际消耗的功率。虽然一个周期内电抗消耗的平均功率为0，但是电抗和电源之间存在着能量交换，通常将电抗瞬时功率的最大值称为无功功率，它反映了电路中储能元件（电感和电容）与电源之间互换能量的大小。视在功率定义为，显然。有功功率和视在功率的比值定义为功率因数。

从另一个角度来看，电流

式中，，，。

 这样电路中的有功功率，无功功率 。所以通常称 为电流的有功分量，或有功电流；称 为电流的无功分量，或无功电流。^[1]、分别为有功电流、无功电流的有效值。

二、 非正弦电路中无功功率及相关概念的定义

单相非正弦电路中，有功功率、视在功率和功率因数的定义与正弦电路中的完全相同，且不存在任何异议。^[4]而无功功率的定义却有很多，且尚未统一，根据其分析方法，可分为三大流派：Budeanu的频域功率理论、Fryze的时域功率理论以及Akagi的三相瞬时无功功率理论。^[5] 下面简要介绍前两大流派的无功功率定义。

1. 频域分析

频域无功功率理论被学术著作和电工教材广泛采用^[6]，并被写入IEEE 标准 1459-2000。该理论建立在傅里叶级数分解的基础上，以Budeanu为代表，其定义如下：^[7]

非正弦电压和电流可写成傅里叶级数形式

，

式中和分别为的电压次谐波的有效值和初相位，和分别为电流次谐波的有效值和初相位。

电压有效值，电流有效值

瞬时功率

视在功率

有功功率

仿照上述有功功率的计算公式，Budeanu给出的频域无功功率的定义如下：

式中的为次谐波电压和次谐波电流共同作用产生的次谐波无功功率，而频域无功功率为这一系列谐波无功功率之和。

此时显然，即无法完全表示非正弦电路的无功功率。于是Budeanu引入了畸变功率。畸变功率实际上是不同次谐波电压和电流之间产生的无功功率。^[8]

2. 时域分析

无功功率的时域分析建立在电流分解的基础上，以Fryze为代表，其定义如下：^[5]

将电流分解成有功电流和无功电流，其中的波形与电压完全相似，其比例系数为，即，无功电流定义为。

显然，按照该定义有。故有，，，。

有功功率，视在功率

无功功率定义为。

式中、分别为电压、电流的有效值，、分别为有功电流、无功电流的有效值。

时域无功功率无需通过傅里叶级数展开，容易被测量，因此在实际测量中也容易得到应用。无功功率可以直接通过视在功率和有功功率来计算，而不需要单独的无功功率表，可通过注入补偿电流，使功率因数为1，实现理论上的完全补偿。^[9]

三、 实例分析

正弦电路中，电容或电感元件的存在，使电路中的电流和电压之间产生相位差，瞬时无功功率反映了电感或电容与电源之间的能量交换。如果负载为纯电阻，则电流和电压之间不存在相位差，电路中也没有无功功率，功率因数应为1。然而在非正弦电路中，问题却并非这么简单，照搬正弦条件下的上述结论则会产生许多误解。下面通过实例分析来说明上述观点。

如图1所示的电路中，交流电源电压，为理想二极管，为纯电阻负载，则电路中的电流

（式中）

电源电压的有效值，电流的有效值；

电路中的有功功率，视在功率；

功率因数。由此可以看出，虽然负载为纯电阻，电路中电压和电流波形之间不存在相位差，但是电路的功率因数却不为1。要解释上述现象，不能简单套用正弦电路中的无功功率及功率因数，而需采用非正弦电路的功率理论。

1. 频域分析法

将电路中的电流傅里叶级数展开得，

而电压，故

由此可以看出，电流波形畸变是该电路中无功功率的产生原因，即该电路中无功功率是由不同次谐波电压和电流之间产生的。

2. 时域分析法

根据时域分析方法，有功电流与电压的相似系数，故

有功电流

无功电流

有功电流有效值，无功电流有效值

有功功率，无功功率

虽然是纯电阻负载，但无功功率不为零，这体现了非线性负载对正弦电源的谐波污染作用。^[8]

四、 总结

从上述的理论和实例分析，我们可以知道：在含有非线性元件的电路中，电源除了提供有功功率外，还要提供一部分无功功率维持非线性元件的正常工作。虽然非正弦条件下无功功率的定义暂无定论，但可以明确的是：电路中存在电感和电容并非产生无功功率的必要条件；功率因数中的也不能简单地理解为电路中电压与电流的相位差。

那么我们该如何深度理解无功功率和功率因数？以下学者的观点可供各位读者参考。

单相正弦电路中的无功功率的引入和定义，是从单一频率电源与储能元件电感、电容之间的电磁能量交换出发的。而事实上，电路中出现电磁功率交换的原因很多，如不同频率电源之间的电功率交换，机电功率的耦合交换，电功率—化学功率之间的耦合等。^[10]

单相正弦电路中功率因数角为电路中电压与电流的相位差，而在非正弦电路中广义功率因数角则为Hilbert内积空间电流向量和电压向量的夹角，广义功率因数的大小表征电流向量与电压向量的相似程度。^[11]

参考文献

[1]赵凯华,陈熙谋.电磁学第三版[M].北京:高等教育出版社,2011

[2]梁灿彬秦光戎,梁竹建.电磁学第二版[M]. 北京:高等教育出版社,2010

[3]陈崇源.高等电路[M].北京:高等教育出版社,2005

[4]黄晓青等.非正弦非平衡电力系统视在功率研究[J].继电器,2006,6:30-34

[5]刘金华,刘永强.非正弦条件下无功功率定义分析与展望[J].电测与仪表,2006,3:1-4

[6]黄安平,蒋金良.关于无功功率基本理论的综述[A].中国高等学校电力系统及其自动化专业第二十四届学术年会论文集[C],2008

[7]IEEE Std 1459-2000 Trial-Use Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions[S],21 June 2000

[8]朱桂萍.基于电流分解的单相无功功率定义及测量方法[J].电气电子教学学报,2010,4:23-28

[9]闫光华,宗建华,杨林.非正弦情况下无功功率定义的分析[J].电测与仪表,2003,2:5-7

[10]陈允平,彭辉,樊友平.基于任意周期电压电流的无功功率定义及其数学模型[J].中国电机工程学报,2006,2:105-112

[11]杨仁刚,唐统一,孙树勤.非正弦电路广义功率和特征参数的定义[J].中国农业大学学报,1996,4:75-79

本文发表于中文核心期刊《物理教师》（刊号32-1216/O4）2015年11月。