再探2014年高考数学福建理科卷第19题

福建省莆田第一中学   林敏

题目：已知双曲线：（，）的两条渐近线分别为：，：．

（I）求双曲线的离心率；

（II）如图，为坐标原点，动直线分别交、于、两点（、分别在第一、四象限），且的面积恒为8．试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由．

笔者将由以下几个方面加以探究．

一、别解：设直线交轴于点，且，（，）．

当时，直线的方程为，令得．

．

又∵   ∴．

由（I）知双曲线方程为，联立消去并整理得．

为使直线与双曲线有且只有一个公共点当且仅当即．

∴．所以双曲线的方程为．

当时，由得面积等于8可得直线：，又易知：与双曲线有且只有一个公共点．

综上所述，存在总与有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为．

二、变式：动直线与双曲线：的两条渐近线分别交于、两点（、分别在第一、四象限）．若直线与双曲线有且只有一个公共点，试探究是否恒为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．

分析：当轴时，直线：，，，．

当直线不与轴垂直，设直线的方程为，依题意得或．

由得．同理可得．直线与轴的交点．

联立消去并整理得．因为直线与双曲线有且只有一个公共点，且，所以得．

又．

综上所求可知，恒为定值8．

三、一般性结论

动直线与双曲线：（，）的两条渐近线：，：分别交于、两点（、分别在第一、四象限）．若的面积恒为，则动直线与双曲线有且只有一个公共点，反之亦然．

证明：当动直线不与轴垂直时，方程可设为（或）．设与轴的交点为．

由得，同理可得．

∴．

又∵，∴．

联立消去并整理得，易知．

∴直线与双曲线有且只有一个公共点．

当直线与轴垂直时，又，易得直线方程为，与双曲线有且只有一个公共点．

综上所证，得知结论成立．反过来，若有，故成立．

中学数学研究、ISSN 1673-6559、CN 36-1100/O1、2015年第04期