一道三角函数的研究

黄天华  福建省莆田第一中学（351100）

  题目：若，则         ．

本题选自《高考总复习——学海舵手·数学（理科）》（2013福建省课标课程高考总复习二轮用书）第四讲三角函数中实战演练第八题，这是一道很普通的三角函数恒等变换给值求值题，复习时极易被老师和学生忽视，然而笔者将从以下几个方面对该题进行研究，其意在为抛砖引玉．

  1 解法研究

解法一：由已知得，又由于，．

所以．

解法二：由

．

解法三：因为，所以，故有．又．

解法四：由得．又．

解法五：由得，有．又因为联立解得或．所以，，，故．

  评注：本题通过不同的五种解法，虽殊途同归，但不同解法所起到的复习效果不一样，通过一题多解，复习恒等变换中给值求值问题的常用求解策略；复习了同角关系，诱导公式，两角和、差公式，二倍角公式等公式，考查了运算求解能力，化归与转化，函数与方程思想．

  2  条件变式研究

变式1：若角的顶点在坐标原点，始边在轴正半轴，终边与单位圆交点的横坐标为，纵坐标大于零，则         ．

分析：由三角函数定义知，，所以．

变式2：若角终边所在直线与过单位圆和轴正半轴交点作该圆的切线相交于点，且，则         ．

分析：由三角函数线定义知．

评注：单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质．

变式3：若函数在点处的切线垂直于轴，则         ．

分析：由，据题意得．

变式4：已知，，若，则         ．

分析：由得．

变式5：已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点（），则         ．

变式6：在中，若，，则         ．

分析：由已知得，，相除得．

变式7：若是两不同直线：和：的交点，为过点和两点的直线的倾斜角，则         ．

分析：由已知得相减得，所以．

变式8：若直线与圆相切，且切点在第四象限，则         ．

分析：由直线与圆相切得得，又因为切点在第四象限，所以．

变式9：若关于离散型随机变量的分布列如右表所示：则         ．

分析：由，得．

变式10：点，，是轴正半轴上一动点，记，当取得最大值时，         ．

分析：设（），．当且仅当时等号取到．又，所以．．

评注：变式1、2、5的变式训练，旨在复习巩固三角函数定义、三角函数线，回归课本，凸现数学本质．通过其他变式，与平面向量、函数与导数、解三角形、直线与圆、离散型随机变量分布列、基本不等式等知识的综合交汇，实现了知识间的纵向交叉，贯彻高考命题的新理念．

 3  结论变式研究

变式1：若，则       ．

分析：利用诱导公式可化简得原式，所以原式．

变式2：若，则         ．

分析：原式。 

变式3：若，则         ．

分析：原式．

变式4：若，则         ．

分析：由，．

变式5：若，则         ．

分析：原式．

变式6：若，则         ．

分析：原式

．

变式7：若，则         ．

分析：利用恒等化简变形得原式．本题为必修4 P143习题3.2A组1（8）的变式．解法多样，这边不加以展开．

  评注：考查学生对基础知识的掌握程度，是数学高考的重要目标之一．三角函数是高中七大主干知识之一，而三角恒等变换是三角函数的主要内容，高考对此部分的试题考查频发出现，要求学生以三角变换为主体，熟练灵活掌握三角函数式的恒等变形．化归与转化思想是三角恒等变换的主导思想．恒等变换前要注意分析已知式中的角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等，寻求联系、实现转化．三角函数的复习应重视知识的综合运用和相互转化，关注它与解析几何、不等式、平面向量等知识的综合．

  新课程背景下，高考命题强调知识之间的交叉、渗透和综合，体现综合性，以检验学生是否具备一个有序的网络化的知识体系，并能从中提取相关的信息，有效、灵活地解决问题．高考试题关注解法的多样性，充分尊重学生在学习数学方面的差异，力求使得不同的思维方式、思维层次的学生都能得到科学的评价．因此加强对试题的解法研究，对试题的条件、结论或式子的变式研究，将有利于学生构建横向、纵向的知识网络体系；有利于激发学生学习数学的兴趣，促进素质教育的实施；有利于促进学生学习方式的转变、培养创新意识，提高学习能力．

  通过变式训练归纳解题方法、技巧、规律和思想方法、促进由知识向能力转化、实现自我完善，争取收到做一题练一法、会一类通一片的效果．

《福建中学数学》CN35-1084/01，2013第6期