理解数学、理解学生、理解教育

——从曾献峰老师的公开课《归纳》谈起

数学组组长蒲锦泉

曾献峰老师在高二（10）班开了一节观摩课，本人听了之后感受颇多，总体感到曾老师进校以来在各方面有了长足的进步，这与他有严谨、勤奋努力分不开。曾老师的这节课在认真分析学情和教材的基础上，准确定位教学目标，从数学视角、学生视角、教育视角，也即从理解数学、理解学生、理解教育的角度，基于课标的理念进行了合理而有效的设计，立意较高。

1．理解数学

1．1本节课数学内容的本质、地位和作用

推理是根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个新的判断的思维方式. 数学、哲学和心理学等学科对其都有研究，它更是人类思维的基本形式. 人们在日常活动和科学研究中经常使用的推理有合情推理和演绎推理. 合情推理是人类发现新知的一个重要途径. 它既有猜测和发现结论的作用，又有探索和启发思路的作用. 本节课所学习的归纳推理是合情推理的一种. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的思维过程，通过归纳推理可以发现新知识，获得新结论. 

推理与证明的内容属于数学思维方法的范畴，贯穿数学教学的始终，遍布数学知识的每个领域. 旧教材将其渗透在具体的数学内容中分散处理，如：综合法和分析法放在“不等式”一章，“反证法”作为“简易逻辑”的一部分，“合情推理”更是很少涉及. 新课程将其统一纳入教材，集中讲授，我认为这对学生系统掌握其方法是很有必要的. 尤其是“合情推理”这一新加入内容，有助于学生从单纯的解答现成的问题，扩展到能够独立的提出一些问题. 很多大数学家（比如拉格朗日，波利亚）都强调合情推理是他们发现新问题的重要手段，波利亚更是在其名著《数学与猜想》中拿出很多章节对合情推理的模式进行一一总结. 如果学生掌握了这些方法，并能够在今后有意识的使用它们，不仅能培养其言之有据，论证有理的思维习惯，而且对开发学生创新性思维，为社会培养创新型人才都有很强的现实意义. 

1．2教学目标的合理定位

新课程中，合情推理分为归纳推理和类比推理两讲，本节课是第一部分，对它是初步了解. 所以应把教学重点放在对归纳推理的概念理解和应用上.而提高学生从特殊到一般的归纳能力则是本节课的教学难点，教学的关键是引导学生自己探索、观察、发现、归纳. 归纳推理作为发现新知的一种途径，有时探索的过程是漫长而曲折的，课堂上设置了有一定难度的“欧拉公式的发现”，正是希望学生通过一番“辛苦”的努力才能得到结论. 这样的安排有利于提高学生的数学素养和锻炼学生的意志品质. 根据以上想法，结合学生的实际情况，合理制定了如下教学目标：

（1）知识与技能

了解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理.

（2）过程与方法

学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.

（3）情感态度，价值观

学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.

1．3本节课的教学中，注意处理好的几个问题：

（1）结论的开放性

归纳推理很大程度上是一种创造性思维，教学中每个学生作出的推理可能并不一致，在这里有些时候结论是开放的，不是唯一的，只要“合情”，就应该认为是对的，应当鼓励学生积极地创造性的思维. 当然面对推出的不同结论，可以比较哪些结论是更具有研究价值的，哪些思考是更有深度的. 

（2）过程的复杂性

归纳推理有时不是一蹴而就的，并不是所有的问题只看三五个特殊情形，就能得出一般性结论，有些问题则需要多看几个，在归纳的同时也能培养学生在探究问题的过程中锲而不舍的精神. 

（3）结论的正确性

归纳推理所得的结论不是一定都正确.例 2就是这样的例子：

例2：对自然数n，考察 f(n)= 计算f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),看看这些数具有什么性质，并做出你的归纳

学生容易做出“为质数”的结论，但这是不对的，实际上f(11)就是合数. 甚至有的问题很难举出反例说明它是错误的，也不容易证明结论的正确性，比如哥德巴赫猜想. 课上有意安排这样的例子，目的是使学生能辩证地看待归纳推理这种方法. 

（4）处理好推理和证明的关系

数学上为保证结论正确，总是强调要证明结论，但合情推理部分重在“推理”，重在得出新结论，“证明”不是本节课要解决的问题. 课上例题中的“欧拉公式”就是这样，学生在短时间内能够得出一般性的结论，已实属不易，若再要求证明， 则难度过高，时间上也不允许，而且会让学生抓不住“推理”这个重点，所以处理上更宜放在课后让学有余力的学生思考. 

1．4本节课的教学设计中，具有一定的数学视野

     首先，本节课先从一个调查统计案例引入，通过学生对这个问题的回答自然地引出“推理”这个概念，同时它也是一个归纳推理的例子，为后面的归纳推理埋下伏笔，后续也将通过学生的活动让他们意识到数学学习过程不仅是为了解决问题，还有数学发现。接着给出几个推理的例子，让学生感受它们之间的区别，课堂上，曾老师通过PPT展示出这一章所要学习的几种推理，即

这样使学生在宏观上有一个基本的框架的认识。

    其次，在问题的设计上，从学科内、跨学科、生活化的角度引入，这样拓展了学生的思维空间，因为归纳推理并非数学所独有。例习题中有等式问题、质数问题（哥德巴赫猜想）、数列、空间几何、三角（2011年福建省高考文16）等。作为教者，在教学设计时需要站在学科的高度，合理的选取、重组、重设。一个问题是我们要用教材教而不是不拘泥于教材，要对教材再加工。本节课在对教材的理解基础上，没有照搬教材，而是经过曾老师个人的思考，重新组合，适当调整. 比如课堂练习2，曾老师把它作为一种合情与演绎的关系的预演题来处理，使听者感到新鲜。

2．理解学生 、理解教育

理解学生就是理解学生的数学认知特点；理解教育就是要寻找以适合学生认知特点的方式传授数学知识。

2．1 “以学生为中心”、“以人为本” 

在教学设计时，教者必须对每个教学环节都进行了仔细地推敲，看逻辑是否自然，是否符合学生的认知水平，学生能否接受，如何接受，能接受到什么程度. 

首先，利用情景设置吸引学生的注意力，激发学习兴趣. 本节课先从一个调查统计案例引入，切题又更适应学生实际，适合课堂教学. 

接着从学生熟悉的实例出发，引出概念；以问题的形式启发学生思考，引导学生观察、发现、归纳；鼓励学生发言，允许学生犯错，对学生发言及时点评. 这种教学方式顺应学生的思维习惯，概念形成过程更加自然，使学生觉得大部分内容都是自己想出来的，印象会更深刻. 学习是学生内化的结果，只有自己建构的知识才是最有效的。在教学设计中，教师是情境的创造者，过程的引导者和启发者，学生才是学习的主体，是知识的探究者和发现者，在课堂中，用尽量多的体现了“以人为本”的教育理念。

2．2 问题设计的有效性

我们看到在课堂上，曾老师有效的提问，激发着学生的思维。在给出几个推理的例子之后，问“这些推理方式有何特点与区别，都正确吗？”；在给出归纳推理的含义之后，让学生列举生活中运用归纳推理例子和学科学习中使用归纳推理的例子；在欧拉公式的发现中，对棱锥、对棱柱也不忘归纳其顶点数、棱数、面数，处处体现归纳推理；在练习2中，提问学生如何想到取倒数来求通项公式？精准的问题、恰当的提问时机，学生的思维一下子被激发出来，这些都体现了曾老师的教学机智。课堂教学的有效性很大程度上依赖于教师的课堂教学设计，而课堂教学设计的关键是两个方面的设计:（1）提好的问题，“好问题”有两个标准，即有意义，并且在学生的思维最近的发展区内，“有意义”就是要反映当前学习内容的本质；“在学生思维的最近发展区内”的问题才能形成认知的冲突，激活学生思维.（2）设计自然的过程.这是数学知识发生发展的再创造过程与学生认知过程的有机融合.因此课堂教学中的问题设计有效性如何直接影响课堂教学的质量.

2．3学案与多媒体的应用

在《归纳推理》这节课中曾老师使用学案，让学在教前，提高了教学的有效性，有效落实学生学习的自主性、合作性和探究性。让更多的学生参与到了课堂中来，使用多种教学辅助手段，多媒体课件、实物展台与板书教学相结合，对学生各种感官进行全方位、多层次、全面立体的刺激，达到了较好的教学效果，完成了既定的教学目标，通过学生的课堂感悟，反映出学生对归纳推理的全面的、正确的认识。

 理解数学、理解学生、理解教育，从学科的高度认识中学数学，强调对核心内容的解构，目的在于能提升学生的数学素养；从学生的认知规律出发来组织教学，可以提高教学的有效性。